如圖，在平面直角座標系中，直線y＝kx﹣10經過點A（12，0）和B（a，﹣5），雙曲線y＝經過點B．（1）求...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，直線y＝kx﹣10經過點A（12，0）和B（a，﹣5），雙曲線y＝經過點B．

（1）求直線y＝kx﹣10和雙曲線y＝的函數表達式；

（2）點C從點A出發，沿過點A與y軸平行的直線向下運動，速度為每秒1個單位長度，點C的運動時間為t（0＜t＜12），連接BC，作BD⊥BC交x軸於點D，連接CD，

①當點C在雙曲線上時，t的值為　   　；

②在0＜t＜6範圍內，∠BCD的大小如果發生變化，求tan∠BCD的變化範圍；如果不發生變化，求tan∠BCD的值．

③當DC＝時，請直接寫出t的值．

【回答】

（1）理由待定係數法即可解決問題；（2）①求出點C座標即可解決問題；

②如圖1中，設直線AB交y軸於M，則M（0，﹣10），A（12，0），取CD的中點K，連接AK、BK．*A、D、B、C四點共圓，可得∠DCB＝∠DAB，推出tan∠DCB＝tan∠DAB＝，即可解決問題；

③分兩種情形分別構建方程即可解決問題；

解：（1）∵直線y＝kx﹣10經過點A（12，0）和B（a，﹣5），

∴12k﹣10＝0，∴k＝，∴y＝x﹣10，

∴﹣5＝a﹣10，∴a＝6，∴B（6，﹣5），

∵雙曲線y＝經過點B，∴m＝﹣30，∴雙曲線解析式為y＝﹣．

（2）①∵AC∥y軸，∴點C的橫座標為12，y＝﹣＝﹣，∴C（12，﹣），∴AC＝，

∴點C在雙曲線上時，t的值為．故*為．

②當0＜t＜6時，點D在線段OA上，∠BCD的大小不變．

理由：如圖1中，設直線AB交y軸於M，則M（0，﹣10），A（12，0），取CD的中點K，連接AK、BK．

∵∠CBD＝∠DAC＝90°，DK＝KC，∴BK＝AK＝CD＝DK＝KC，

∴A、D、B、C四點共圓，∴∠DCB＝∠DAB，

∴tan∠DCB＝tan∠DAB＝＝＝．

③如圖2中，當t＜5時，作BM⊥OA於M，CN⊥BM於N．

則△CNB∽△BMD，∴＝，∴＝，∴DM＝（5﹣t），∴AD＝6+（5﹣t），

∵DC＝，∴[6+（5﹣t）]2+t2＝（）2，

解得t＝或（捨棄）．

當t＞5時，同法可得：[6﹣（t﹣5）]2+t2＝（）2，

解得t＝或（捨棄），

綜上所述，滿足條件的t的值為t＝或s．

知識點：相似三角形

題型：綜合題