已知函數.(1)如果a>0,函數在區間上存在極值,求實數a的取值範圍;(2)當x≥1時,不等式恆成立,求實數k...
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問題詳情:
已知函數.
(1)如果a>0,函數在區間上存在極值,求實數a的取值範圍;
(2)當x≥1時,不等式恆成立,求實數k的取值範圍.
【回答】
考點:
實際問題中導數的意義;函數在某點取得極值的條件.
專題:
壓軸題;導數的綜合應用.
分析:
(1)因為,x>0,x>0,則,利用函數的單調*和函數f(x)在區間(a,a+)(其中a>0)上存在極值,能求出實數a的取值範圍.
(2)不等式,即為,構造函數,利用導數知識能求出實數k的取值範圍.
解答:
解:(1)因為,x>0,則,(1分)
當0<x<1時,f'(x)>0;
當x>1時,f'(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上單調遞增;在(1,+∞)上單調遞減,所以函數f(x)在x=1處取得極大值.
因為函數f(x)在區間(a,a+)(其中a>0)上存在極值,
所以解得.
(2)不等式,即為,記,
所以=
令h(x)=x﹣lnx,
則,∵x≥1,∴h'(x)≥0,∴h(x)在[1,+∞)上單調遞增,∴[h(x)]min=h(1)=1>0,
從而g'(x)>0,
故g(x)在[1,+∞)上也單調遞增,所以[g(x)]min=g(1)=2,
所以k≤2.
點評:
本題考查極值的應用,應用滿足條件的實數的取值範圍的求法.解題時要認真審題,仔細解答,注意構造法和分類討論法的合理運用.
知識點:導數及其應用
題型:解答題