已知橢圓C：的右焦點為F(2,0)，過點F的直線交橢圓於M、N兩點且MN的中點座標為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（...
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問題詳情：
已知橢圓C：
的右焦點為F(2,0)，過點F的直線交橢圓於M、N兩點且MN的中點座標為
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l不經過點P（0，b）且與C相交於A，B兩點，若直線PA與直線PB的斜率的和為1，試判斷直線 l是否經過定點，若經過定點，請求出該定點；若不經過定點，請給出理由.
【回答】
【分析】
（Ⅰ）設
，由點差法可得
，MN的中點座標為
，則可得
，由此能求出橢圓C的方程．
（II）設直線AB：
，聯立方程
得：
由此利用韋達定理、直線斜率公式，結合已知條件能求出直線l經過定點
．
【詳解】（I）設
，則
，兩式相減得
,
，
又MN的中點座標為
，且M、N、F、Q共線
因為
，所以
，
因為
所以
，
所以橢圓C的方程為
.
（II）設直線AB：
，聯立方程
得：
設
則
，
因為
，所以
，所以
所以
，所以
，所以
所以
，因為
，所以
，
所以直線AB：
，直線AB過定點
，
又當直線AB斜率不存在時，設AB：
，則
，因為
所以
適合上式，所以直線AB過定點
.
【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線是否過定點的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓*質、直線斜率公式、韋達定理的合理運用．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
