已知橢圓，AB分別為橢圓C的左、右頂點，過橢圓C的右焦點F的直線與橢圓C相交於M，N兩點（異於點A，B）.（1...

問題詳情：

已知橢圓，AB分別為橢圓C的左、右頂點，過橢圓C的右焦點F的直線與橢圓C相交於M，N兩點（異於點A，B）.

（1）若，橢圓的焦距為2，求橢圓C的方程；

（2）記直線MA，BN的斜率分別為，求橢圓C的離心率.

【回答】

（1）（2）

【解析】

(1)由點M在橢圓上,並結合,,可求出橢圓方程；

(2)由點M,N在橢圓上,可得,化簡可求橢圓C的離心率.

【詳解】

解：（1）由題意得,①

,所以,

所以,②

由①②可得,,

所以橢圓C的方程為.

（2）由題意得,,,設,,

因為點M在橢圓C上,所以,

所以.（ⅰ)

設直線,

聯立,得,消去x並整理得,,

則,

,,（*)

所以,

將（*）代入上式化簡得,,（ⅱ)

又

所以由（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）得,,

所以,即,解得或.

又,所以,即橢圓C的離心率為.

【點睛】

本題考查橢圓的方程、橢圓的離心率、直線與橢圓的位置關係,考查考生的邏輯思維能力和運算求解能力.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題