已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，過橢圓的左、右焦點分別作傾斜角為的直線，分別交橢圓於A，B和C，D兩點，當時...
來源：國語幫 3.16W
問題詳情：
已知橢圓
（a＞b＞0）的離心率為
，過橢圓的左、右焦點
分別作傾斜角為
的直線
，
分別交橢圓於A，B和C，D兩點，當
時，直線AB與CD之間的距離為
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若AB不與x軸重合，點P在橢圓上，且滿足
（t＞0）.若
，求直線AB的方程.
【回答】
（1）
；（2）
.
【分析】
（1）當
時，直線AB與CD之間的距離為
，得
，所以
，由橢圓C的離心率為
，
，可求橢圓方程.（2）先驗*直線
的斜率不存在時，不滿足題意，當直線
的斜率存在時，設方程為
，聯立直線
和橢圓方程，設
，由
，把
代入橢圓方程得
，即可求AB方程.
【詳解】
解：（1）設
，由
之間的距離為
，得
，所以
，
由橢圓C的離心率為
，得
，所以
，
，
所以橢圓C的標準方程為
.
（2）若直線
的斜率不存在，則易得
，
，得
，顯然點
不在橢圓上，捨去
因此設直線
的方程為
，設
，
將直線
的方程與橢圓
的方程聯立
，整理得
，
因為
，所以
，
則由
，
得
將P點座標代入橢圓C的方程，得
;
將
帶入等式
得
，
因此所求直線AB的方程為
【點睛】
考查橢圓方程的求法，在直線和橢圓的位置關係中求滿足一定條件的直線方程的方法，難題
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
