已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交於A、B兩點，M是橢圓C上異於A...
來源：國語幫 1.88W
問題詳情：
已知橢圓
的離心率為
，橢圓上的點到右焦點F的最近距離為2，若橢圓C與x軸交於A、B兩點，M是橢圓C上異於A、B的任意一點，直線MA交直線
於G點，直線MB交直線
於H點。
（1）求橢圓C的方程；
（2）試探求以GH為直徑的圓是否恆經過x軸上的定點？若經過，求出定點的座標；若不經過，請説明理由。
【回答】
解（Ⅰ）由題意得
.
橢圓
的方程為：
……………………………………………………4分
（Ⅱ）記直線
、
的斜率分別為
、
，設
的座標分別為
,
,
，
.
在橢圓上，所以
，
，
設
，則
，
.
，又
.
.……………………………………………………………8分
因為
的中點為
，
,所以，以為直徑的圓的方程為：
.
令
，得
，
，將兩點
代入檢驗恆成立.
所以，以
為直徑的圓恆過
軸上的定點
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
