拋物線和直線（k為正常數）交於點A和點B，其中點A的座標是（-2，1），過點A作x軸的平行線交拋物線於點E，點...

問題詳情：

拋物線和直線（k為正常數）交於點A和點B，其中點A的座標是（-2，1），過點A作x軸的平行線交拋物線於點E，點D是拋物線上B、E之間的一個動點，設其橫座標為t，經過點D作兩座標軸的平行線分別交直線AB於點C、M，設CD=r，MD=m。

（1）根據題意可求出a=         ，點E的座標是           。

（2）當點D可與B、E重合時，若k=0.5，求t的取值範圍，並確定

t為何值時，r的值最大。

（3）當點D不與B、E重合時，若點D運動過程中可以得到r的最大值，求k的取值範圍，並判斷當r為最大值時m的值是否最大，説明理由。

【回答】

解：（1）根據題意知，點A（﹣2，1）在拋物線y=ax2上，

∴1=（﹣2）2a，

解得，a=．

∵拋物線y=ax2關於y軸對稱，AE∥x軸，

∴點A、E關於y軸對稱，

∴E（2，1）．

故*是：，（2，1）．

（2）∵點A（﹣2，1）在直線y=kx+b（k為正常數）上，k=0.5，

∴1=﹣2×0.5+b，

解得，b=2，

即直線AB的解析式為y=x+2．

∵由（1）知，拋物線的解析式y=x2，拋物線y=x2和直線y=x+2（k為正常數）交於點A和點B，

∴，

解得，或，

∴它們的交點座標是（﹣2，1），（4，4），即B（4，4）．

當點D與點E重合時，t=2．當點D與點B重合時，t=4，

∴t的取值範圍是：2≤t≤4．

∵點C在直線y=x+2上，點D在拋物線y=x2上，CD∥x軸，

∴D（t，t2），C（，t2），

∴r=t﹣=﹣（t﹣1）2+（2≤t≤4）．

∵在2≤t≤4範圍內，r隨t的增大而減小，

∴當t=2時，r最大=4．即當t=2時，r取最大值．

（3）∵點A、B是直線與拋物線的交點，

∴kx+b=x2，即x2﹣4kx﹣4b=0，

∴xA+xB=4k．

∵xA=﹣2，

∴xB=4k+2．

又∵點D不與B、E重合，

∴2＜t＜4k+2．

設D（t，t2），則點C的縱座標為t2，將其代入y=kx+b中，得x=t2﹣，

∴點C的座標為（t2﹣，t2），

∴r=CD=t﹣（t2﹣）=﹣（t﹣2k）2+k+，

當t=2k時，r取最大值．

∴2＜2k＜4k+2，

解得，k＞1．

又∵k==，

∴m=kr=﹣（t﹣2k）2+k2+b，

∴當t=2k時，m的值也最大．

綜上所述，當r為最大值時m的值也是最大．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題