如圖*，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動...

問題詳情：

如圖*，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點P由點B出發沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設運動時間為t（s）（0＜t＜4），解答下列問題：

（1）設△APQ的面積為S，當t為何值時，S取得最大值？S的最大值是多少？

（2）如圖乙，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′C，當四邊形PQP′C為菱形時，求t的值；′

（3）當t為何值時，△APQ是等腰三角形？

【回答】

【考點】相似形綜合題．

【專題】壓軸題．

【分析】（1）過點P作PH⊥AC於H，由△APH∽△ABC，得出=，從而求出AB，再根據=，得出PH=3﹣t，則△AQP的面積為： AQ•PH=t（3﹣t），最後進行整理即可得出*；

（2）連接PP′交QC於E，當四邊形PQP′C為菱形時，得出△APE∽△ABC， =，求出AE=﹣t+4，再根據QE=AE﹣AQ，QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2，再求t即可；

（3）由（1）知，PE=﹣t+3，與（2）同理得：QE=﹣t+4，從而求出PQ=，

在△APQ中，分三種情況討論：①當AQ=AP，即t=5﹣t，②當PQ=AQ，即=t，③當PQ=AP，即=5﹣t，再分別計算即可．

【解答】解：（1）如圖*，過點P作PH⊥AC於H，

∵∠C=90°，

∴AC⊥BC，

∴PH∥BC，

∴△APH∽△ABC，

∴=，

∵AC=4cm，BC=3cm，

∴AB=5cm，

∴=，

∴PH=3﹣t，

∴△AQP的面積為：

S=×AQ×PH=×t×（3﹣t）=﹣（t﹣）2+，

∴當t為秒時，S最大值為cm2．

（2）如圖乙，連接PP′，PP′交QC於E，

當四邊形PQP′C為菱形時，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，

∴△APE∽△ABC，

∴=，

∴AE===﹣t+4

QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4，

QE=QC=（4﹣t）=﹣t+2，

∴﹣t+4=﹣t+2，

解得：t=，

∵0＜＜4，

∴當四邊形PQP′C為菱形時，t的值是s；

（3）由（1）知，

PE=﹣t+3，與（2）同理得：QE=AE﹣AQ=﹣t+4

∴PQ===，

在△APQ中，

①當AQ=AP，即t=5﹣t時，解得：t1=；

②當PQ=AQ，即=t時，解得：t2=，t3=5；

③當PQ=AP，即=5﹣t時，解得：t4=0，t5=；

∵0＜t＜4，

∴t3=5，t4=0不合題意，捨去，

∴當t為s或s或s時，△APQ是等腰三角形．

【點評】此題主要考查了相似形綜合，用到的知識點是相似三角形的判定與*質、勾股定理、三角形的面積公式以及二次函數的最值問題，關鍵是根據題意做出輔助線，利用數形結合思想進行解答．

知識點：相似三角形

題型：解答題