如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度...

問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC於點F，連接DE，EF.

（1）當t為何值時，DF=DA？

（2）當t為何值時，△ADE為直角三角形？請説明理由．

（3）是否存在某一時刻t，使點F在線段AC的中垂線上，若存在，請求出t值，若不存在，請説明理由.

（4）請用含有t式子表示△DEF的面積，並判斷是否存在某一時刻t，使△DEF的面積是△ABC面積的，若存在，請求出t值，若不存在，請説明理由.

【回答】

（1）10；（2）t= 或12，理由見解析；（3） t=10，理由見解析；（4）

【解析】

(1) 由已知條件可得Rt△CDF中∠C=30°，即可知DF=CD=AE=2t，列方程求解即可；

（2）分兩種情況討論即可求解；

（3）假設存在，再根據垂直平分線的*質求解即可；

（4）利用兩個三角形的面積關係求解即可.

【詳解】

（1）*：由題意得：AE=2t，CD=4t，

∵DF⊥BC∴∠CFD=90°，

∵∠C=90°-60°=30°，

∴DF=CD=2t，

同理：AB=AC=30cm

若：DF=DA，則：2t=60-4t，

解得：   t=10；

(2) 當∠AED=90°時，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE    即60-4t=4t，

解得：t=

當∠ADE=90°時，

∵∠A=60°， ∴∠DEA=30°，

∴AD=AE

∴60-4t=t  解得t=12．

（3）連接AF,

若存在，則CF=AF，

∴∠C=∠CAF=30°

∴∠AFB=60°

∴∠FAB=30°

RT△DCF中，有勾股定理得：CF=

同理：BC=

∴FB=AF==

解得：t=10．

（4）

∴

∴

若存在，則 

解得

【點睛】

解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題.

知識點：實際問題與一元二次方程

題型：解答題