設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為L，P為拋物線上一點，PA⊥L，A為垂足．如果直線AF的斜率為-，那麼以P...

來源：國語幫 1.84W

問題詳情：

設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為L，P為拋物線上一點，PA⊥L，A為垂足．如果直線AF的斜率為-，那麼以PF為直徑的圓的標準方程為______．

【回答】

（x-2）2+（y-）2=4 【解析】

解：∵拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點， ∴|PF|=|PA|，F（1，0），準線l的方程為：x=-1；設F在l上的*影為F′，又PA⊥l，依題意，∠AFF′=60°，|FF′|=2， ∴|AF′|=2，PA∥x軸， ∴點P的縱座標為2，設點P的橫座標為x0，（2）2=4x0， ∴x0=3， ∴|PF|=|PA|=x0-（-1）=3-（-1）=4．故以PF為直徑的圓的圓心為（2，），半徑為2．以PF為直徑的圓的標準方程為（x-2）2+（y-）2=4 故*為：（x-2）2+（y-）2=4．利用拋物線的定義，|PF|=|PA|，設F在l上的*影為F′，依題意，可求得|FF′|，|AF′|，從而可求得點P的縱座標，代入拋物線方程可求得點P的橫座標，從而可求得|PA|．本題考查拋物線的簡單*質，考查轉化思想，考查解三角形的能力，屬於中檔題．