已知函數，，其中.（1）當時，求的單調區間；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值範圍.
來源：國語幫 2.7W
問題詳情：
已知函數
，
，其中
.
（1）當
時，求
的單調區間；
（2）若存在
，使得不等式
成立，求
的取值範圍.
【回答】
（1）見解析；（2）
.
【分析】
（1）求出函數
的定義域和導數，由
得出
和
，然後對
和
的大小關係進行分類討論，分析導數符號，可得出函數
的單調增區間和減區間；
（2）由
，得出
，得出
，構造函數
，將問題轉化為
，其中
，然後利用導數求出函數
在區間
上的最小值，可得出實數
的取值範圍.
【詳解】
（1）函數
的定義域為
，
.
當
時，令
，可得
或
.
①當
時，即當
時，對任意的
，
，
此時，函數
的單調遞增區間為
；
②當
時，即當
時，
令
，得
或
；令
，得
.
此時，函數
的單調遞增區間為
和
，單調遞減區間為
；
③當
時，即當
時，
令
，得
或
；令
，得
.
此時，函數
的單調遞增區間為
和
，單調遞減區間為
；
（2）由題意
，可得
，可得
，其中
.
構造函數
，
，則
.
，令
，得
.
當
時，
；當
時，
.
所以，函數
在
或
處取得最小值，
，
，則
，
，
.
因此，實數
的取值範圍是
.
【點睛】
本題考查函數單調區間的求解，同時也考查了利用導數研究函數不等式成立問題，在求解時充分利用參變量分離法求解，可簡化分類討論，考查分類討論數學思想的應用，屬於中等題.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
