已知拋物線。（1）*：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點。（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A...

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問題詳情：

已知拋物線。

（1）*：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點。

（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A，B（點A在點B的右側），與y軸交於點C，A，B，C三點都在圓P上。①試判斷：不論m取任何正數，圓P是否經過y軸上某個定點？若是，求出該定點的座標，若不是，説明理由； ②若點C關於直線的對稱點為點E，點D（0，1），連接BE，BD，DE，△BDE的周長記為，圓P的半徑記為，求的值。

【回答】

（1）*：當拋物線與x軸相交時，令y=0，得： x2+mx-m-4=0 ∴△=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）2 ∵m＞0， ∴（m+4）2＞0， ∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點。（2）解：①令y=x2+mx-2m-4=（x-2）（x+m+2）=0，解得：x1=2，x2=-m-2， ∵拋物線與x軸的兩個交點分別為A，B（點A在點B的右側）， ∴A（2，0），B（-2-m，0）， ∵拋物線與y軸交於點C， ∴C（0，-2m-4），設⊙P的圓心為P（x0 ， y0），則x0= = ， ∴P（，y0），且PA=PC，則PA2=PC2 ，則解得， ∴P（，）， ∴⊙P與y軸的另一交點的座標為（0，b）則， ∴b=1， ∴⊙P經過y軸上一個定點，該定點座標為（0，1） ②由①知，D（0，1）在⊙P上， ∵E是點C關於直線的對稱點，且⊙P的圓心P（，）， ∴E（-m，-2m-4）且點E在⊙P上，即D，E，C均在⊙P上的點，且∠DCE=90°， ∴DE為⊙P的直徑， ∴∠DBE=90°，△DBE為直角三角形， ∵D（0，1），E（-m，-2m-4），B（-2-m，0）， ∴DB= ， BE= = = ∴BE=2DB，在Rt△DBE中，設DB=x，則BE=2x， ∴DE= = ， ∴△BDE的周長l=DB+BE+DE=x+2x+ = ⊙P的半徑r= = ∴ = =

【考點】一元二次方程根的判別式及應用，二次函數圖像與座標軸的交點問題，兩點間的距離，勾股定理，圓周角定理

【解析】【分析】（1）當拋物線與x軸相交時，即y=0，根據一元二次方程根的判別式△=b2-4ac=m2+4（2m+4）=m2+8m+16=（m+4）2＞0，從而得出該拋物線與x軸總有兩個不同的交點. （2）①拋物線與x軸的兩個交點，即y=0，因式分解得出A（2，0），B（-2-m，0）；拋物線與y軸交點，即x=0，得出C（0，-2m-4）；設⊙P的圓心為P（x0 ， y0），由P為AB中點，得出P點橫座標，再PA=PC，根據兩點間距離公式得出P點縱座標，即P（，）；設⊙P與y軸的另一交點的座標為（0，b），根據中點座標公式得b=1，即⊙P經過y軸上一個定點，該定點座標為（0，1）. ②由①知，D（0，1）在⊙P上，由）①知⊙P的圓心P（，），由圓周角定理得△DBE為直角三角形，再根據兩點間距離公式得DB= ，BE= ，由BE=2DB，在Rt△DBE中，設DB=x，則BE=2x，根據勾股定理得DE= ，由三角形周長公式得 △BDE的周長l= ，又⊙P的半徑r= ，從而得出值.