已知,AB、AC是圓O的兩條弦,AB=AC,過圓心O作OH⊥AC於點H.(1)如圖1,求*:∠B=∠C;(2)...
問題詳情:
已知,AB、AC是圓O的兩條弦,AB=AC,過圓心O作OH⊥AC於點H.
(1)如圖1,求*:∠B=∠C;
(2)如圖2,當H、O、B三點在一條直線上時,求∠BAC的度數;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點E為劣弧BC上一點,CE=6,CH=7,連接BC、OE交於點D,求BE的長和的值.
【回答】
【考點】圓的綜合題.
【分析】(1)如圖1中,連接OA.欲*∠B=∠C,只要*△AOC≌△AOB即可.
(2)由OH⊥AC,推出AH=CH,由H、O、B在一條直線上,推出BH垂直平分AC,推出AB=BC,由AB=AC,推出AB=AC=BC,推出△ABC為等邊三角形,即可解決問題.
(3)過點B作BM⊥CE延長線於M,過E、O作EN⊥BC於N,OK⊥BC於K.設ME=x,則BE=2x,BM=x,在△BCM中,根據BC2=BM2+CM2,可得BM=5,推出sin∠BCM==,推出NE=,OK=CK=,由NE∥OK,推出DE:OD=NE:OK即可解決問題.
【解答】*:(1)如圖1中,連接OA.
∵AB=AC,
∴=,
∴∠AOC=∠AOB,
在△AOC和△AOB中,
,
∴△AOC≌△AOB,
∴∠B=∠C.
解:(2)連接BC,
∵OH⊥AC,
∴AH=CH,
∵H、O、B在一條直線上,
∴BH垂直平分AC,
∴AB=BC,∵AB=AC,
∴AB=AC=BC,
∴△ABC為等邊三角形,
∴∠BAC=60°.
解:(3)過點B作BM⊥CE延長線於M,過E、O作EN⊥BC於N,OK⊥BC於K.
∵CH=7,
∴BC=AC=14,
設ME=x,
∵∠CEB=120°,
∴∠BEM=60°,
∴BE=2x,
∴BM=x,
△BCM中,∵BC2=BM2+CM2,
∴142=(x)2+(6+x)2,
∴x=5或﹣8(捨棄),
∴BM=5,
∴sin∠BCM==,
∴NE=,
∴OK=CK=,
∵NE∥OK,
∴DE:OD=NE:OK=45:49.
知識點:圓的有關*質
題型:解答題