在矩形中，點E是*線上一動點，連接，過點B作於點G，交直線於點F．（1）當矩形是正方形時，以點F為直角頂點在正...

問題詳情：

在矩形中，點E是*線上一動點，連接，過點B作於點G，交直線於點F．

（1）當矩形是正方形時，以點F為直角頂點在正方形的外部作等腰直角三角形，連接．

①如圖1，若點E在線段上，則線段與之間的數量關係是________，位置關係是_________；

②如圖2，若點E在線段的延長線上，①中的結論還成立嗎？如果成立，請給予*；如果不成立，請説明理由；

（2）如圖3，若點E在線段上，以和為鄰邊作，M是中點，連接，，，求的最小值．

【回答】

（1）①相等；垂直；②成立，理由見解析；（2）

【解析】

（1）①*△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再*四邊形BEHF為平行四邊形，從而可得結果；

②根據（1）中同樣的*方法求*即可；

（2）説明C、E、G、F四點共圓，得出GM的最小值為圓M半徑的最小值，設BE=x，*△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．

【詳解】

解：（1）①∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，

∵AE⊥BF，

∴∠CBF+∠AEB=90°，

∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴BE=CF，AE=BF，

∵△FCH為等腰直角三角形，

∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，

∴FH∥BC，

∴四邊形BEHF為平行四邊形，

∴BF∥EH且BF=EH，

∴AE=EH，AE⊥EH，

故*為：相等；垂直；

②成立，理由是：

當點E在線段BC的延長線上時，

同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），

∴BE=CF，AE=BF，

∵△FCH為等腰直角三角形，

∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，

∴FH∥BC，

∴四邊形BEHF為平行四邊形，

∴BF∥EH且BF=EH，

∴AE=EH，AE⊥EH；

（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，

∴C、E、G、F四點共圓，

∵四邊形BCHF是平行四邊形，M為BH中點，

∴M也是EF中點，

∴M是四邊形BCHF外接圓圓心，

則GM的最小值為圓M半徑的最小值，

∵AB=3，BC=2，

設BE=x，則CE=2-x，

同（1）可得：∠CBF=∠BAE，

又∵∠ABE=∠BCF=90°，

∴△ABE∽△BCF，

∴，即，

∴CF=，

∴EF=

=

=，

設y=，

當x=時，y取最小值，

∴EF的最小值為，

故GM的最小值為．

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定和*質，相似三角形的判定和*質，平行四邊形的*質，二次函數的最值，圓的*質，難度較大，找出圖形中的全等以及相似三角形是解題的關鍵．

知識點：相似三角形

題型：綜合題