如圖,矩形中,,,現以矩形的邊為軸,的中點 為原點建立直角座標系,是軸上方一點,使得、與線段分別交於點...
來源：國語幫 1.35W
問題詳情：
如圖, 矩形
中, 
, 
, 現以矩形的
邊為
軸, 
的中點
為原點建立直角座標系, 
是軸上方一點, 使得
、
與線段
分別交於點
、
,
且
成等比數列.
(1) 求動點的軌跡方程；
(2) 求動點
到直線
距離
的最大值及取得最大值時點的座標．
【回答】
解：（1）設點
的座標為
，過作
交
的延長線於
，交
的延
長線於
.
在
中, 
, 得
，
得
.
在
中, 
,
得
.
同理可得
.
∵ 
成等比數列，
∴ 
.
∴ 
.
化簡得
.
∴ 動點的軌跡方程為
.
(2)由圖易知當與直線
平行的直線與半橢圓相切於點時，點
到直線距離的最大.
設與直線
平行的直線方程為
，代入
，
得 
，①
由
，
解得
，由
，得
.
故點到直線
距離的最大值為
.
把
代入①式，可解得點的座標為
.
知識點：數學競賽
題型：綜合題
