如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連結BE，作點A關於BE的對稱點F，且點F落在矩形ABCD的內...

問題詳情：

如圖，在矩形ABCD中，點E是AD上的一個動點，連結BE，作點A關於BE的對稱點F，且點F落在矩形ABCD的內部，連結AF，BF，EF，過點F作GF⊥AF交AD於點G，設=n.

(1)求*：AE=GE；

(2)當點F落在AC上時，用含n的代數式表示的值；

(3)若AD=4AB，且以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形，求n的值.

【回答】

解：設AE=a，則AD=na，

(1)由對稱知，AE=FE，

∴∠EAF=∠EFA，

∵GF⊥AF，

∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°，

∴∠FGA=∠EFG，

∴EG=EF，

∴AE=EG；

(2)如圖1，當點F落在AC上時，

由對稱知，BE⊥AF，

∴∠ABE+∠BAC=90°，

∵∠DAC+∠BAC=90°，

∴∠ABE=∠DAC，

∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE∽△DAC，

∴，∵AB=DC，

∴AB2=AD•AE=na2，

∵AB＞0，

∴AB=a，

∴；

(3)若AD=4AB，則AB=a，

如圖2，當點F落在線段BC上時，EF=AE=AB=a，此時a=a，

∴n=4，

∴當點F落在矩形內部時，n＞4，

∵點F落在矩形內部，點G在AD上，

∴∠FCG＜∠BCD，

∴∠FCG＜90°，

①當∠CFG=90°時，

如圖3，則點F落在AC上，

由(2)得，，

∴n=16，

②當∠CGF=90°時，則∠CGD+∠AGF=90°，

∵∠FAG+∠AGF=90°，

∴∠CGD=∠FAG=∠ABE，

∵∠BAE=∠D=90°，

∴△ABE∽△DGC，

∴，

∴AB•DC=DG•AE，

∵DG=AD﹣AE﹣EG=na﹣2a=（n﹣2）a，

∴（a）2=（n﹣2）a•a，

∴n=8+4或n=8﹣4（舍），

∴當n=16或n=8+4時，以點F，C，G為頂點的三角形是直角三角形．

知識點：相似三角形

題型：解答題