如圖,將矩形ABCD沿AF摺疊,使點D落在BC邊的點E處,過點E作EG∥CD交AF於點G,連接DG.(1)求*...
問題詳情:
如圖,將矩形ABCD沿AF摺疊,使點D落在BC邊的點E處,過點E作EG∥CD交AF於點G,連接DG.
(1)求*:四邊形EFDG是菱形;
(2)探究線段EG、GF、AF之間的數量關係,並説明理由;
(3)若AG=6,EG=2,求BE的長.
【回答】
(1)*見解析;(2)EG2=GF•AF.理由見解析;(3)BE=.
【解析】
(1)先依據翻折的*質和平行線的*質*∠DGF=∠DFG,從而得到GD=DF,接下來依據翻折的*質可*DG=GE=DF=EF;(2)連接DE,交AF於點O.由菱形的*質可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下來,*△DOF∽△ADF,由相似三角形的*質可*DF2=FO•AF,於是可得到GE、AF、FG的數量關係;(3)過點G作GH⊥DC,垂足為H.利用(2)的結論可求得FG=4,然後再△ADF中依據勾股定理可求得AD的長,然後再*△FGH∽△FAD,利用相似三角形的*質可求得GH的長,最後依據BE=AD-GH求解即可.
【詳解】
(1)*:∵GE∥DF,
∴∠EGF=∠DFG.
∵由翻折的*質可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG.
∴GD=DF.
∴DG=GE=DF=EF.
∴四邊形EFDG為菱形.
(2)EG2=GF•AF.
理由:如圖1所示:連接DE,交AF於點O.
∵四邊形EFDG為菱形,
∴GF⊥DE,OG=OF=GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,
∴△DOF∽△ADF.
∴,即DF2=FO•AF.
∵FO=GF,DF=EG,
∴EG2=GF•AF.
(3)如圖2所示:過點G作GH⊥DC,垂足為H.
∵EG2=GF•AF,AG=6,EG=2,
∴20=FG(FG+6),整理得:FG2+6FG﹣40=0.
解得:FG=4,FG=﹣10(捨去).
∵DF=GE=2,AF=10,
∴AD==4.
∵GH⊥DC,AD⊥DC,
∴GH∥AD.
∴△FGH∽△FAD.
∴,即=.
∴GH=.
∴BE=AD﹣GH=4﹣=.
【點睛】
本題考查了四邊形的綜合問題,熟練掌握四邊形的*質、判定定理等相關知識點是本題解題的關鍵.
知識點:勾股定理
題型:解答題