如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點E在CD上，DE=1，點F是邊AB上一動點，以EF為斜邊作Rt△...
來源：國語幫 2.76W
問題詳情：
如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點E在CD上，DE=1，點F是邊AB上一動點，以EF為斜邊作Rt△EFP．若點P在矩形ABCD的邊上，且這樣的直角三角形恰好有兩個，則AF的值是________.
【回答】
0或1＜AF＜
或4.
【解析】以EF為斜邊的直角三角形的直角頂點P是以EF為直徑的圓與矩形邊的交點, 取EF的中點O,
(1) 如圖1, 當圓O與AD相切於點G時, 連結OG, 此時點G與點P重合,只有一個點, 此時AF=OG=DE=1;
(2) 如圖2,
當圓O與BC相切於點G, 連結OG,EG, FG, 此時有三個點P可以構成Rt△EFP,
∵OG是圓O的切線,∴OG⊥BC
∴OG∥AB∥CD
∵OE=OF,
∴BG=CG,∴OG=
(BF+CE),
設AF=x, 則BF=4-x, OG=
(4-x+4-1)= 
(7-x)
則EF=2OG=7-x, EG
=EC
+CG
=9+1=10,FG
=BG
+BF
=1+(4-x) 
，
在Rt△EFG中, 由勾股定理得EF
=EG
+FG
,
得(7-x) 
=10+1+(4-x)2,解得x=
，
所以當1<AF<
時,以EF為直徑的圓與矩形ABCD的交點 (除了點E和F) 只有兩個;
(3)因為點F是邊AB上一動點:
當點F與B點重合時, AF=4, 此時Rt△EFP正好有兩個符合題意，如圖3;
故*為0或1＜AF＜ 
或4.
知識點：特殊的平行四邊形
題型：填空題
