如圖，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），點E是線段CB延長線上的一個動點，連接AE，過點A作AF⊥AE...

問題詳情：

如圖，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），點E是線段CB延長線上的一個動點，連接AE，過點A作AF⊥AE交*線DC於點F．

（1）如圖1，若k＝1，則AF與AE之間的數量關係是　　；

（2）如圖2，若k≠1，試判斷AF與AE之間的數量關係，寫出結論並*；（用含k的式子表示）

（3）若AD＝2AB＝4，連接BD交AF於點G，連接EG，當CF＝1時，求EG的長．

【回答】

（1）AF＝AE；（2）AF＝kAE，*見解析；（3）EG的長為或

【解析】

（1）*△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的*質得出AF＝AE；

（2）*△ABE∽△ADF，由相似三角形的*質得出，則可得出結論；

（3）①如圖1，當點F在DA上時，*得△GDF∽△GBA，得出，求出AG＝．由△ABE∽△ADF可得出，求出AE＝．則可得出*；

②如圖2，當點F在DC的延長線上時，同理可求出EG的長．

【詳解】

解：（1）AE＝AF．

∵AD＝AB，四邊形ABCD矩形，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝90°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF＝90°，

∴∠EAB＝∠FAD，

∴△EAB≌△FAD（AAS），

∴AF＝AE；

故*為：AF＝AE．

（2）AF＝kAE．

*：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，

∴∠FAD+∠FAB＝90°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF＝90°，

∴∠EAB+∠FAB＝90°，

∴∠EAB＝∠FAD，

∵∠ABE+∠ABC＝180°，

∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ABE＝∠ADF．

∴△ABE∽△ADF，

∴，

∵AD＝kAB，

∴，

∴，

∴AF＝kAE．

（3）解：①如圖1，當點F在DA上時，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵AD＝2AB＝4，

∴AB＝2，

∴CD＝2，

∵CF＝1，

∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，

∴AF＝，

∵DF∥AB，

∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，

∴△GDF∽△GBA，

∴

∵AF＝GF+AG，

∴AG＝

∵△ABE∽△ADF，

∴，

∴AE＝＝

在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，

∴EG＝，

②如圖2，當點F在DC的延長線上時，DF＝CD+CF＝2+1＝3，

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，

∴AF＝．

∵DF∥AB，

∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，

∴△AGB∽△FGD，

∴，

∵GF+AG＝AF＝5，

∴AG＝2，

∵△ABE∽△ADF，

∴，

∴，

在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，

∴EG＝．

綜上所述，EG的長為或．

【點睛】

本題是相似形綜合題，考查了全等三角形的判定與*質，正方形的*質，矩形的*質，相似三角形的判定與*質，勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與*質是解題的關鍵．

知識點：相似三角形

題型：綜合題