如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC邊的中點，點P在線段AD上，過P作PF⊥AE於F，設PA＝x...
來源：國語幫 2.69W
問題詳情：
如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC邊的中點，點P在線段AD上，過P作PF⊥AE於F，設PA＝x．
（1）求*：△PFA∽△ABE；
（2）當點P在線段AD上運動時，設PA＝x，是否存在實數x，使得以點P，F，E為頂點的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請説明理由；
（3）探究：當以D為圓心，DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點時，請直接寫出x滿足的條件： ．
【回答】
（1）*：∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，AD∥BC，∴∠PAF＝∠AEB，
又∵PF⊥AE，∴∠PFA＝90°＝∠ABE，∴△PFA∽△ABE．
（2）解：分二種情況：
①若△EFP∽△ABE，如圖1，則∠PEF＝∠EAB，∴PE∥AB，
∴四邊形ABEP為矩形，∴PA＝EB＝3，即x＝3．
②若△PFE∽△ABE，則∠PEF＝∠AEB，∵AD∥BC∴∠PAF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．∵PF⊥AE，∴點F為AE的中點，Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，∴AE＝5，
∴EF＝
AE＝
，∵△PFE∽△ABE，∴
，∴
，∴PE＝
，即x＝
．
∴滿足條件的x的值為3或
．
（3）如圖3，當⊙D與AE相切時，設切點為G，連接DG，∵AP＝x，∴PD═DG＝6﹣x，
∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°，∴△AGD∽△EBA，∴
，∴
＝
，x＝
，
當⊙D過點E時，如圖4，⊙D與線段有兩個公共點，連接DE，此時PD＝DE＝5，
∴AP＝x＝6﹣5＝1，
∴當以D為圓心，DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點時，x滿足的條件：x＝
或0≤x＜1；故*為：x＝
或0≤x＜1．
知識點：相似三角形
題型：解答題
