如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點,點P在*線AD上,過P作PF⊥AE於F,設PA=x.(1)求...
問題詳情:
如圖,正方形ABCD的邊長為4,E是BC邊的中點,點P在*線AD上,過P作PF⊥AE於F,設PA=x.
(1)求*:△PFA∽△ABE;
(2)若以P,F,E為頂點的三角形也與△ABE相似,試求x的值;
(3)試求當x取何值時,以D為圓心,DP為半徑的⊙D與線段AE只有一個公共點.
【回答】
(1)*見解析;(2)滿足條件的x的值為2或5;(3)當x=4-或x=4+或8<x≤4+2時,⊙D與線段AE只有一個公共點.
【解析】
(1)根據正方形的*質和PF⊥AE易*三角形相似.
(2)由於對應關係不確定,所以應針對不同的對應關係分情況考慮:當∠PEF=∠EAB時,則得到四邊形ABEP為矩形,從而求得x的值;當∠PEF=∠AEB時,再結合△PFA∽△ABE,得到等腰△APE.再根據等腰三角形的三線合一得到F是AE的中點,運用勾股定理和相似三角形的*質進行求解.
(3)此題首先應針對點P的位置分為兩種大情況:點P在AD邊上時或當點P在AD的延長線上時.同時還要特別注意⊙D與線段AE只有一個公共點,不一定必須相切,只要保*和線段AE只有一個公共點即可.故求得相切時的情況和相交,但其中一個交點在線段AE外的情況即是x的取值範圍.
【詳解】
(1)*:∵正方形ABCD,
∴AD∥BC.
∴∠ABE=90°.
∴∠PAF=∠AEB.
又∵PF⊥AE,
∴∠PFA=∠ABE=90°.
∴△PFA∽△ABE.
(2)解:情況1,當△EFP∽△ABE,且∠PEF=∠EAB時,
則有PE∥AB
∴四邊形ABEP為矩形.
∴PA=EB=2,即x=2.
情況2,當△PFE∽△ABE,且∠PEF=∠AEB時,
∵∠PAF=∠AEB,
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE,
∴點F為AE的中點.
∵===,
∴EF=AE=.
∵=,即=,
∴PE=5,即x=5.
∴滿足條件的x的值為2或5.
(3)解:如圖,
作DH⊥AE,則⊙D與線段AE的距離d即為DH的長,可得d=
當點P在AD邊上時,⊙D的半徑r=DP=4﹣x;
當點P在AD的延長線上時,⊙D的半徑r=DP=x﹣4;
如圖1時,⊙D與線段AE相切,此時d=r,即=4-x,∴x=4-;
如圖2時,⊙D與線段AE相切,此時d=r,即=x-4,∴x=4+;
如圖3時,DA=PD,則PA=x=2DA=8
如圖4時,當PD=ED時,
∵DE==2,
∴PA=PD+AD=4+2,
∴當x=4-或x=4+或8<x≤4+2時,⊙D與線段AE只有一個公共點.
【點睛】
這道題綜合運用相似三角形的判定和*質.需要特別注意的是:和線段有一個公共點,不一定必須相切,也可以相交,但其中一個交點在線段外.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題