如圖，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC邊上任意一點，E是BC延長線上一點，連接AP，作PF⊥AP，使PF...

問題詳情：

如圖，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC邊上任意一點，E是BC延長 線上一點，連接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，連接CF，AF，AF交CD邊於點G，連接PG．

（1）求*：∠GCF＝∠FCE；

（2）判斷線段PG，PB與DG之間的數量關係，並*你的結論；

（3）若BP＝2，在直線AB上是否存在一點M，使四　

邊形DMPF是平行四邊形，若存在，求出BM的

長度，若不存在，説明理由．

【回答】

（1）*：過點F作FH⊥BE於點H，

          ∵四邊形ABCD是正方形，

          ∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90º,AB＝BC，

          ∴∠BAP＋∠APB＝90º

          ∵AP⊥PF,

          ∴∠APB＋∠FPH＝90º

          ∴∠FPH＝∠BAP

          又∵AP＝PF

         ∴△BAP≌△HPF

         ∴PH＝AB，BP＝FH 

           ∴PH＝BC

         ∴BP＋PC＝PC＋CH

         ∴CH＝BP＝FH  

          而∠FHC＝90º. ∴∠FCH＝CFH＝45º

           ∴∠DCF＝90º－45º＝45º

           ∴∠GCF＝∠FCE  

        （2）PG＝PB＋DG

           *：延長PB至K，使BK=DG,

            ∵四邊形ABCD是正方形

           ∴AB=AD, ∠ABK＝ADG=90º

         ∴△ABK≌△ADG 

          ∴AK=AG, ∠KAB＝∠GAD,

          而∠APF=90 º,AP=PF

           ∴∠PAF＝∠PFA＝45 º

           ∴∠BAP＋∠KAB＝∠KAP＝45 º＝∠PAF

            ∴△KAP≌△GAP  

            ∴KP=PG,

          ∴KB＋BP=DG＋BP＝PG

           即，PG＝PB＋DG； 

          （3）存在.

             如圖，在直線AB上取一點M，使四邊形DMPF是平行四邊形，

             則MD∥PF，且MD＝FP，

              又∵PF=AP，

             ∴MD=AP

             ∵四邊形ABCD是正方形，

              ∴AB=AD，∠ABP=∠DAM

             ∴△ABP≌△DAM  

          ∴AM＝BP=2，

            ∴BM＝AB－AM=5－2=3. 

            ∴當BM=3，BM+AM=AB時，四邊形DMPF是平行四邊形．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題