在正方形ABCD中,E是邊CD上一點(點E不與點C、D重合),連結BE.【感知】如圖①,過點A作AF⊥BE交B...
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問題詳情:
在正方形ABCD中,E是邊CD上一點(點E不與點C、D重合),連結BE.
【感知】如圖①,過點A作AF⊥BE交BC於點F.易*△ABF≌△BCE.(不需要*)
【探究】如圖②,取BE的中點M,過點M作FG⊥BE交BC於點F,交AD於點G.
(1)求*:BE=FG.
(2)連結CM,若CM=1,則FG的長為 .
【應用】如圖③,取BE的中點M,連結CM.過點C作CG⊥BE交AD於點G,連結EG、MG.若CM=3,則四邊形GMCE的面積為 .
【回答】
【解答】解:感知:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠BCE=∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBE=90°,
∵AF⊥BE,
∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴∠BAF=∠CBE,
在△ABF和△BCE中,,
∴△ABF≌△BCE(ASA);
探究:(1)如圖②,
過點G作GP⊥BC於P,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°,
∴四邊形ABPG是矩形,
∴PG=AB,∴PG=BC,
同感知的方法得,∠PGF=∠CBE,
在△PGF和△CBE中,,
∴△PGF≌△CBE(ASA),
∴BE=FG,
(2)由(1)知,FG=BE,
連接CM,
∵∠BCE=90°,點M是BE的中點,
∴BE=2CM=2,
∴FG=2,
故*為:2.
應用:同探究(2)得,BE=2ME=2CM=6,
∴ME=3,
同探究(1)得,CG=BE=6,
∵BE⊥CG,
∴S四邊形CEGM=CG×ME=×6×3=9,
故*為9.
【點評】此題是四邊形綜合題,主要考查了正方形的*質,同角的餘角相等,全等三角形的判定和*質,直角三角形的*質,判斷出CG=BE是解本題的關鍵.
知識點:各地中考
題型:解答題