已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC於F，連接DF，G為DF中點，連接EG，C...

問題詳情：

已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC於F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．

（1）求*：EG=CG；

（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45º，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出*；若不成立，請説明理由．     

（3）將圖①中△BEF繞B點旋轉任意角度，如圖③所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什麼結論？（均不要求*）

【回答】

1）*：在Rt△FCD中, ∵G為DF的中點, ∴ CG= FD．（1分） 同理,在Rt△DEF中, EG= FD．（2分） ∴ CG=EG．（3分） （2）（1）中結論仍然成立,即EG=CG．（4分） *法一：連接AG,過G點作MN⊥AD於M,與EF的延長線交於N點． 在△DAG與△DCG中, ∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG．（5分） 在△DMG與△FNG中, ∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG 在矩形AENM中,AM=EN．（6分） 在Rt△AMG 與Rt△ENG中, ∵ AM=EN,MG=NG, ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG． ∴ EG=CG． （8分） *法二：延長CG至M,使MG=CG, 連接MF,ME,EC,（4分） 在△DCG 與△FMG中, ∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG, ∴△DCG ≌△FMG． ∴MF=CD,∠FMG＝∠DCG．  ∴MF‖CD‖AB（5分） ∴ ． 在Rt△MFE 與Rt△CBE中, ∵ MF=CB,EF=BE, ∴△MFE ≌△CBE（6分） ∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． （7分） ∴ △MEC為直角三角形． ∵ MG = CG, ∴ EG= MC．（8分）

（3）（1）中的結論仍然成立, 即EG=CG．其他的結論還有:EG⊥CG．（12分）

知識點：特殊的平行四邊形

題型：綜合題