如圖，矩形中，與相交於點，，將沿摺疊，點的對應點為，連接交於點，且，在邊上有一點，使得的值最小，此時（ ）A...
問題詳情：
如圖，矩形
中，
與
相交於點
，
，將
沿
摺疊，點
的對應點為
，連接
交
於點
，且
，在
邊上有一點
，使得
的值最小，此時
（ ）
A．
B．
C．
D．
【回答】
B
【解析】
設BD與AF交於點M．設AB=a，AD=
a，根據矩形的*質可得△ABE、△CDE都是等邊三角形，利用摺疊的*質得到BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=
a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a=2
，再*CF=CD=2
．作B點關於AD的對稱點B′，連接B′E，設B′E與AD交於點H，則此時BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角座標系，得出B（3，2
），B′（3，-2
），E（0，
），利用待定係數法求出直線B′E的解析式，得到H（1，0），然後利用兩點間的距離公式求出BH=4，進而求出
=
．
【詳解】
如圖，設BD與AF交於點M．設AB=a，AD=
a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，tan∠ABD=
，
∴BD=AC=
=2a，∠ABD=60°，
∴△ABE、△CDE都是等邊三角形，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，
∵將△ABD沿BD摺疊，點A的對應點為F，
∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=
a，
在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，
∴GM=
BG=1，BM=
GM=
，
∴DM=BD-BM=2a-
，
∵矩形ABCD中，BC∥AD，
∴△ADM∽△GBM，
∴
，即
，
∴a=2
，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2
，AD=BC=6，BD=AC=4
，
易*∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，
∴△ADF是等邊三角形，
∵AC平分∠DAF，
∴AC垂直平分DF，
∴CF=CD=2
，
作B點關於AD的對稱點B′，連接B′E，設B′E與AD交於點H，則此時BH+EH=B′E，值最小．
如圖，建立平面直角座標系，
則A（3，0），B（3，2
），B′（3，-2
），E（0，
），
易求直線B′E的解析式為y=-
x+
，
∴H（1，0），
∴BH=
=4，
∴
=
．
故選：B．
【點睛】
本題考查了摺疊的*質：摺疊是一種對稱變換，它屬於軸對稱，摺疊前後圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的*質，解直角三角形，等邊三角形、垂直平分線、相似三角形的判定與*質，待定係數法求直線的解析式，軸對稱-最短路線問題，兩點間的距離公式等知識．綜合*較強，有一定難度．分別求出BH、CF的長是解題的關鍵．
知識點：軸對稱
題型：選擇題
