將一個矩形紙片放置在平面直角座標系中，點，點，點E，F分別在邊，上．沿着摺疊該紙片，使得點A落在邊上，對應點為...
來源：國語幫 1.54W
問題詳情：
將一個矩形紙片
放置在平面直角座標系中，點
，點
，點E，F分別在邊
，
上．沿着
摺疊該紙片，使得點A落在
邊上，對應點為
，如圖①．再沿
摺疊，這時點E恰好與點C重合，如圖②．
（Ⅰ）求點C的座標；
（Ⅱ）將該矩形紙片展開，再摺疊該矩形紙片，使點O與點F重合，摺痕與
相交於點P，展開矩形紙片，如圖③．
①求
的大小；
②點M，N分別為
，
上的動點，當
取得最小值時，求點N的座標（直接寫出結果即可）．
【回答】
（Ⅰ）
（Ⅱ）①
，②
【分析】
（Ⅰ）由翻折的*質可知，
，
，再由正方形的*質和勾股定理可得OE，繼而即可求解；
（Ⅱ）①連接
，由題意和（Ⅰ）可知，而
，
，由等角對等邊可知
，
，設
，則
，然後根據翻折的*質可知
即
，把x代入列出方程，解方程求出
，根據相似三角形的判定可*, 
，再根據相似三角形的對應角相等和三角形內角和即可求解；
②利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等這一*質可判斷M、N的位置，進而根據題意即可求解．
【詳解】
解：（Ⅰ）∵點
，∴
．
由兩次摺疊可知，
，
．
∴
是正方形．∴
．
在
中，
．
∴點C的座標為
．
（Ⅱ）①如圖③，連接
，由
和（Ⅰ）可知，
，而
，
，
故
，
．
設
，則
，
由
即
，
得
，解得
．
所以
．則有
．
得
．又
，則
，
即
．
②如圖④所示，過點P作
⊥OC於點
，交OF於點M，作
關於OF的對稱點N，連接MN，此時
取得最小值時，且
，
過點N作NG⊥x軸於點G，
∵由（Ⅱ）知，∠AOE＝45°,
∴∠NOG＝90°－45°＝45°
∴OG＝NG＝
．
∴
．
【點睛】
本題主要考查幾何變換的綜合題，涉及到翻折的*質、勾股定理、相似三角形的判定及其*質、角平分線的*質等知識點，熟練運用所學知識是解題的關鍵．
知識點：特殊的平行四邊形
題型：解答題
