已知橢圓的兩個焦點為、，是與的等差中項，其中、、都是正數，過點和的直線與原點的距離為．（1）求橢圓的方程；（2...

問題詳情：

已知橢圓的兩個焦點為、，是與的等差中項，其中、、都是正數，過點和的直線與原點的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）（文）過點作直線交橢圓於另一點，求長度的最大值；

（3）已知定點，直線與橢圓交於、相異兩點．*：對任意的，都存在實數，使得以線段為直徑的圓過點．

【回答】

解：（1）在橢圓中，由已知得·············· 1分

過點和的直線方程為，即，該直線與原點的距離為，由點到直線的距離公式得：·························· 3分

解得：；所以橢圓方程為··············· 4分

（2）（文）設，則，，其中 6分

當時，取得最大值，所以長度的最大值為········ 9分

（3）將代入橢圓方程，得，由直線與橢圓有兩個交點，所以，解得············· 11分

設、，則，，因為以為直徑的圓過點，所以，即，······················· 13分

而=，所以

，解得········ 14分

如果對任意的都成立，則存在，使得以線段為直徑的圓過點．

，即．所以，對任意的，都存在，使得以線段為直徑的圓過點．            16分

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題