如圖①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，點D是AC邊上一點（不與C重合），以AD為...
問題詳情：
如圖①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，點D是AC邊上一點（不與C重合），以AD為直徑作⊙O，過C作CE切⊙O於E，交AB於F．
（1）若⊙O半徑為2，求線段CE的長；
（2）若AF＝BF，求⊙O的半徑；
（3）如圖②，若CE＝CB，點B關於AC的對稱點為點G，試求G、E兩點之間的距離．
【回答】
（1）CE＝4
；（2）⊙O的半徑為3；（3）G、E兩點之間的距離為9.6
【分析】
（1）根據切線的*質得出∠OEC=90°，然後根據勾股定理即可求得；
（2）由勾股定理求得BC，然後通過*得△OEC∽△BCA，得到
，即
解得即可；
（3）*得D和M重合，E和F重合後，通過*得△GBE∽△ABC，
，即
，解得即可.
【詳解】
解：（1）如圖①，連接OE，
∵CE切⊙O於E，
∴∠OEC＝90°，
∵AC＝8，⊙O的半徑為2，
∴OC＝6，OE＝2，
∴CE＝
；
（2）設⊙O的半徑為r，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝
＝6，
∵AF＝BF，
∴AF＝CF＝BF，
∴∠ACF＝∠CAF，
∵CE切⊙O於E，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OEC＝∠ACB，
∴△OEC∽△BCA，
∴
，即
解得r＝3，
∴⊙O的半徑為3；
（3）如圖②，連接BG，OE，設EG交AC於點M，
由對稱*可知，CB＝CG，
∵CE＝CG，
∴∠EGC＝∠GEC，
∵CE切⊙O於E，
∴∠GEC+∠OEG＝90°，
∵∠EGC+∠GMC＝90°，
∴∠OEG＝∠GMC，
∵∠GMC＝∠OME，
∴∠OEG＝∠OME，
∴OM＝OE，
∴點M和點D重合，
∴G、D、E三點在同一直線上，
連接AE、BE，
∵AD是直徑，
∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，
又CE＝CB＝CG，
∴∠BEG＝90°，
∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，
∴A、E、B三點在同一條直線上，
∴E、F兩點重合，
∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△GBE∽△ABC，
∴
，即
∴GE＝9.6，
故G、E兩點之間的距離為9.6．
【點睛】
本題考查了切線的判定，軸的*質，勾股定理的應用以及三角形相似的判定和*質，*得G、D、E三點共線以及A、E、B三點在同一條直線上是解題的關
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
