已知橢圓的中心為座標原點O,橢圓短半軸長為1,動點M(2,t)(t>0)在直線x=(a為長半軸,c為半焦...
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問題詳情:
已知橢圓的中心為座標原點O,橢圓短半軸長為1,動點M(2,t)(t>0)在直線x= (a為長半軸,c為半焦距)上.
(1) 求橢圓的標準方程;
(2) 求以OM為直徑且被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程;
(3) 設F是橢圓的右焦點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交於點N,求*:線段ON的長為定值,並求出這個定值.
【回答】
(1) 解:由點M在準線上,得=2,∴ c=1,從而a=,所以橢圓方程為+y2=1.
(2) 解:以OM為直徑的圓的方程為x(x-2)+y(y-t)=0,即,其圓心為,半徑r=,因為以OM為直徑的圓被直線3x-4y-5=0截得的弦長為2,所以圓心到直線3x-4y-5=0的距離,解得t=4,所求圓的方程為(x-1)2+(y-2)2=5.
(3) *:設N(x0,y0),則=(x0-1,y0),=(2,t),=(x0-2,y0-t),=(x0,y0).
∵ ⊥,∴ 2(x0-1)+ty0=0,∴ 2x0+ty0=2.
∵ ⊥,∴ x0(x0-2)+y0(y0-t)=0,∴ x+y=2x0+ty0=2,
∴ ||==為定值.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題