已知橢圓C:+=1(a>b>0)的長軸長為4.(1)若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y...
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問題詳情:
已知橢圓C:+=1(a>b>0)的長軸長為4.
(1)若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線y=x+2相切,求橢圓C的焦點座標;
(2)若點P是橢圓C上的任意一點,過原點的直線l與橢圓C相交於M,N兩點,記直線PM,PN的斜率分別為kPM,kPN,當kPM·kPN=-時,求橢圓的方程.
【回答】
(1)由b=,得b=.又2a=4,
所以a=2,a2=4,b2=2,c2=a2-b2=2,
所以橢圓的兩個焦點座標分別為(,0),(-,0).
(2)由於過原點的直線l與橢圓相交的兩點M,N關於座標原點對稱,不妨設M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y),
由於M,N,P在橢圓上,則它們滿足橢圓方程,
即有+=1,+=1,兩式相減得=-.
由題意可知直線PM,PN的斜率存在,
則kPM=,kPN=,
kPM·kPN=·==-,
則-=-.由a=2得b=1,
故所求橢圓的方程為+y2=1.
【精要點評】由給定條件求橢圓方程,常用待定係數法,步驟是:定型——確定曲線形狀;定位——確定焦點位置;定量——由條件求a,b,c.當焦點位置不明確時,方程可能有兩種形式,要防止遺漏.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:填空題