已知橢圓中心在原點,焦點在x軸上,離心率,點F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,過右焦點F2且垂直於長軸的弦長為...
問題詳情:
已知橢圓中心在原點,焦點在x軸上,離心率,點F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,過右焦點F2且垂直於長軸的弦長為
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過橢圓的左焦點F1作直線l,交橢圓於P,Q兩點,若,求直線l的傾斜角.
【回答】
考點:
直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的標準方程.
專題:
圓錐曲線中的最值與範圍問題.
分析:
(1)設橢圓的標準方程為.右焦點F2(c,0),把x=c代入橢圓方程得,解得.可得.利用離心率計算公式及a,b,c的關係可得,解出即可.
(2)設直線l與橢圓的交點P(x1,y1),Q(x2,y2).分當直線l的斜率為0和不為時討論,斜率不為0時設直線l的方程為my=x+1,與橢圓的方程聯立,得到根與係數的關係,再利用數量積,即可得出.直線l的斜率為0時比較簡單.
解答:
解:(1)由題意可設橢圓的標準方程為.
右焦點F2(c,0),把x=c代入橢圓方程得,解得.
∴.
聯立,解得.
∴橢圓的標準方程為.
(2)設直線l與橢圓的交點P(x1,y1),Q(x2,y2).
①當直線l的斜率不為0時,設直線l的方程為my=x+1.
聯立,得(2+m2)y2﹣2my﹣1=0.
∴,.
∵2==(x1﹣1,y1)•(x2﹣1,y2)=(my1﹣2,y1)•(my2﹣2,y2)=(m2+1)y1y2﹣2m(y1+y2)+4,
∴2=,
化為m2=1,解得m=±1,
∴直線l的斜率k==±1.
設直線的傾斜角為α,則tanα=±1.
∴或.
②當直線l的斜率為0時,P,Q.
==﹣1≠2,不符合題意,應捨去.
綜上可知:直線l的傾斜角α為或.
點評:
本題綜合考查了橢圓的標準方程及其*質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與係數的關係、向量的數量積等基礎知識與基本技能,考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:綜合題