已知橢圓的中心在座標原點,焦點在軸上,左頂點為,左焦點為,點在橢圓上,直線與橢圓交於兩點,直線,分別與軸交於點...
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問題詳情:
已知橢圓的中心在座標原點,焦點在軸上,左頂點為,左焦點為,點在橢圓上,直線與橢圓交於兩點,直線,分別與軸交於點.
(1)求橢圓的方程;
(2)在軸上是否存在點,使得無論非零實數怎樣變化,總有為直角?若存在,求出點的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)設橢圓的方程為,因為橢圓的左焦點為,所以,
設橢圓的右焦點為,已知點在橢圓上,
由橢圓的定義知,所以,
所以,從而,所以橢圓的方程為. ………………4分
(2)因為橢圓的左頂點為,則點的座標為,
因為直線與橢圓交於兩點,,
設點(不妨設),則點,
聯立方程組,消去得,所以,,………………6分
所以直線的方程為,因為直線與軸交於點,
令得,即點,
同理可得點. ………………10分
假設在軸上存在點,使得為直角,則,
即,即. 解得或.
故存在點或,無論非零實數怎樣變化,總有為直角.……………………12分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題