如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別...
來源：國語幫 2.21W
問題詳情：
如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
(Ⅰ)求該橢圓的離心率和標準方程；
(Ⅱ)過B1作直線l交橢圓於P，Q兩點，
使PB2⊥QB2，求直線l的方程．
【回答】
（1） 如圖，設所求橢圓的標準方程為
＋
＝1(a＞b＞0)，右焦點為F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，
又|AB1|＝|AB2|，
故∠B1AB2為直角，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝
.
結合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝
＝
.………3分
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝
·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝
·b＝b2.由題設條件S△AB1B2＝4得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標準方程為：
＋
＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設直線l的方程為x＝my－2.代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
設P(x1，y1)，Q(x2， y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，
因此y1＋y2＝
，y1·y2＝－
，
又
＝(x1－2，y1)，
＝(x2－2，y2)，
所以
·
＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－
－
＋16＝－
，
由PB2⊥QB2，得
·
＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2
所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
