如圖,在平面直角座標系中,已知橢圓C:(a>b>0)的短軸長為2,F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點,過點F2...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,已知橢圓C:(a>b>0)的短軸長為2,F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點,過點F2的動直線與橢圓交於點P,Q,過點F2與PQ垂直的直線與橢圓C交於A、B兩點.當直線AB過原點時,PF1=3PF2.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若點H(3,0),記直線PH,QH,AH,BH的斜率依次為,,,.
①若,求直線PQ的斜率;
②求的最小值.
【回答】
(1)(2)①或②
【分析】
(1)已知條件有,直線AB過原點時,PQ^x軸,所以△PF1F2為直角三角形,利用橢圓定義和勾股定理可求得,得橢圓方程;
(2)①設直線PQ:,代入到橢圓方程得後化簡,設P(,),Q(,),應用韋達定理得,,計算並代入可得;
②分類討論,當這兩條直線中有一條與座標軸垂直時,,
當兩條直線與座標軸都不垂直時,由①知,同理可得,計算後應用基本不等式可得最小值.
【詳解】
解:(1)因為橢圓C:(a>b>0)的短軸長為2,所以b=1,
當直線AB過原點時,PQ^x軸,所以△PF1F2為直角三角形,
由定義知PF1+PF2=2a,而PF1=3PF2,故,,
由得,化簡得a2=2,
故橢圓的方程為.
(2)①設直線PQ:,代入到橢圓方程得:,設P(,),Q(,),則,,
所以
所以,
解得:或,即為直線PQ的斜率.
②當這兩條直線中有一條與座標軸垂直時,,
當兩條直線與座標軸都不垂直時,
由①知,同理可得
故
,
若且唯若即k=±1時取等號.
綜上,的最小值為.
【點睛】
本題考查求橢圓的標準方程,考查直線與橢圓相交中定值與最值問題.求橢圓方程時由於已知直線的特殊位置,利用橢圓的定義是解題關鍵,在直線與橢圓相交問題中,採取設而不求思想方法,即設直線方程,設交點座標,直線方程代入橢圓方程整理後應用韋達定理得,代入其他條件化簡變形即可得.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題