己知橢圓C:的左右焦點分別為F1,F2,直線l:y=kx+m與橢圓C交於A,B兩點.O為座標原點.(1)若直線...
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問題詳情:
己知橢圓C:的左右焦點分別為F1,F2,直線l:y=kx+m與橢圓C交於A,B兩點.O為座標原點.
(1)若直線l過點F1,且|AB|=,求k的值;
(2)若以AB為直徑的圓過原點O,試探究點O到直線AB的距離是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請説明理由。
【回答】
(1)因為直線l過點F1(-2,0),所以m=2k即直線l的方程為y=k(x+2).
設A(x1,y1),B(x2,y2).
聯立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.
∴ x1+x2=,x1x2=. 由弦長公式|AB|=,
代入整理得,解得k2=1.∴.
(2)設直線l方程y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
聯立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.
∴ x1+x2=,x1x2=. 以AB為直徑的圓過原點O,即.
∴ x1x2+ y1y2=0.將y1=kx1+m,y2= kx2+m代入,整理得
(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 將x1+x2=,x1x2=代入,
整理得3m2=8k2+8.設點O到直線AB的距離為d,
於是d2=, 故O到直線AB的距離是定值為.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題