已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F是橢圓的焦點，點A（0，﹣2），直線AF的斜率為，O為座標原點．...
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問題詳情：
已知橢圓E：
+
=1（a＞b＞0）的離心率為
，F是橢圓的焦點，點A（0，﹣2），直線AF的斜率為
，O為座標原點．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）設過點A的直線l與E相交於P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．
【回答】
解：（Ⅰ） 設F（c，0），由條件知
，得
又
，
所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程
．…．（6分）
（Ⅱ）依題意當l⊥x軸不合題意，故設直線l：y=kx﹣2，設P（x1，y1），Q（x2，y2） 將y=kx﹣2代入
，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
當△=16（4k2﹣3）＞0，即
時，
從而
又點O到直線PQ的距離
，所以△OPQ的面積
=
，設
，則t＞0，
，
若且唯若t=2，k=±
等號成立，且滿足△＞0，
所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為：y=
x﹣2或y=﹣
x﹣2．…（12分）
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
