如圖，在平面直角座標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點(2，1)在橢圓C上．(1)求橢...
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問題詳情：
如圖，在平面直角座標系xOy中，已知橢圓C：
＋
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，點(2，1)在橢圓C上．
(1) 求橢圓C的方程；
(2) 設直線l與圓O：x2＋y2＝2相切，與橢圓C相交於P，Q兩點．
① 若直線l過橢圓C的右焦點F，求△OPQ的面積；
② 求*：OP⊥OQ.
【回答】
(1) 解：由題意，得
＝
，
＋
＝1，
解得a2＝6，b2＝3.
所以橢圓的方程為
＋
＝1.(2分)
(2) ① 解：(解法1)橢圓C的右焦點F(
，0)．
設切線方程為y＝k(x－
)，即kx－y－
k＝0，
(解法2)橢圓C的右焦點F(，0)．
設切線方程為y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，
所以
＝
，解得k＝±
，
所以切線方程為y＝±
(x－)．(4分)
把切線方程y＝(x－)代入橢圓C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有x1＋x2＝
.
由橢圓定義可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e(x1＋x2)＝2×
－
因為O到直線PQ的距離為，所以△OPQ的面積為
.
因為橢圓的對稱*，當切線方程為y＝－(x－)時，△OPQ的面積也為.
綜上所述，△OPQ的面積為
.(8分)
② *：(*法1)(ⅰ) 若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x＝或x＝－.
當x＝時，P(，)，Q(，－)．
因為
＝0，所以OP⊥OQ.
當x＝－時，同理可得OP⊥OQ.(10分)
(ⅱ) 若直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程為y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0.
所以
＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋
因為x
＋y
＝2，代入上式可得
＝0，所以OP⊥OQ.
綜上所述，OP⊥OQ.(14分)
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
