在平面直角座標系中,已知橢圓C: =1,設R(x0,y0)是橢圓C上任一點,從原點O向圓R:(x﹣x0)2+(...
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問題詳情:
在平面直角座標系中,已知橢圓C: =1,設R(x0,y0)是橢圓C上任一點,從原點O向圓R:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=8作兩條切線,切點分別為P,Q.
(1)若直線OP,OQ互相垂直,且R在第一象限,求圓R的方程;
(2)若直線OP,OQ的斜率都存在,並記為k1,k2,求*:2k1k2+1=0.
【回答】
【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題.
【分析】(1)由直線OP,OQ互相垂直,且與圓R相切,可得OR=4,再由R在橢圓上,滿足橢圓方程,求得點R的座標,即可得到圓R的方程;
(2)運用直線和圓相切的條件:d=r,結合二次方程的韋達定理和點R滿足橢圓方程,化簡整理,即可得*.
【解答】解:(1)由題圓R的半徑為,因為直線OP,OQ互相垂直,且與圓R相切,
所以,即,①
又R(x0,y0)在橢圓C上,所以,②
由①②及R在第一象限,解得,
所以圓R的方程為:;
(2)*:因為直線OP:y=k1x,OQ:y=k2x均與圓R相切,
所以,化簡得,
同理有,
所以k1,k2是方程的兩個不相等的實數根,
所以.又因為R(x0,y0)在橢圓C上,所以,
即,所以,
即2k1k2+1=0.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題