如圖，在平面直角座標系xOy中，橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系xOy中，橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，過橢圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當直線AB的斜率為0時，|AB|＋|CD|＝3．

(1)求橢圓的方程；

(2)求以A，B，C，D為頂點的四邊形的面積的取值範圍．

【回答】

解：(1)由題意知，e＝＝，

則a＝c，b＝c．

當直線AB的斜率為0時，|AB|＋|CD|＝2a＋＝2c＋c＝3，所以c＝1．

所以橢圓的方程為＋y2＝1．

(2)①當直線AB與直線CD中有一條的斜率為0時，另一條的斜率不存在．

由題意知S四邊形＝|AB|·|CD|＝×2×＝2．

②當兩條直線的斜率均存在且不為0時，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝k(x－1)，則直線CD的方程為y＝－(x－1)．

將直線AB的方程代入橢圓方程，並整理得

(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

所以S四邊形＝·|AB|·|CD|

因為

若且唯若k＝±1時取等號，

所以S四邊形∈．

綜合①與②可知，S四邊形∈．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題