如圖所示，橢圓的左､右頂點分別為、，上、下頂點分別為、，右焦點為，，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點作...
來源：國語幫 1.72W
問題詳情：
如圖所示，橢圓
的左､右頂點分別為
、
，上、下頂點分別為
、
，右焦點為
，
，離心率為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
作不與
軸重合的直線
與橢圓交於點
、
，直線
與直線
交於點
，試討論點
是否在某條定直線上，若存在，求出該直線方程，若不存在，請説明理由.
【回答】
（1）
；（2）存在，且定直線方程為
.
【分析】
（1）由題意可得出關於
、
的方程組，求得
、
的值，可求得
的值，由此可求得橢圓的標準方程；
（2）設直線
的方程為
，設點
、
，將直線
的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，求出直線
、
的方程，求出交點
的縱座標，進而可得出結論.
【詳解】
（1）由題意可得
，解得
，
，
，
因此，橢圓的標準方程為
；
（2）由題意可知直線
的斜率存在，設直線
的方程為
，設點
、
，
聯立
，消去
並整理得
，
，
由韋達定理得
，
.
易知點
、
，
直線
的斜率為
，直線
的方程為
，
直線
的斜率為
，直線
的方程為
，
由
，
可得
，
其中
，
，解得
.
因此，點
在定直線
上.
【點睛】
本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了定直線的問題，考查韋達定理設而不求法的應用，考查計算能力，屬於中等題.
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
