如圖，已知橢圓（）的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點，為頂點的三角形的周長為，一等軸雙曲線的頂點是該...
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問題詳情：
如圖，已知橢圓
（
）的離心率為
，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點
，
為頂點的三角形的周長為
，一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設
為該雙曲線上異於頂點的任一點，直線
和
與橢圓的交點分別為
、
和
、
．
（1）求橢圓和雙曲線的標準方程；
（2）設直線
、
的斜率分別為
、
，*
為定值；
（3）是否存在常數
，使得
恆成立？若存在，求
的值；若不存在，請説明理由．
【回答】
解：（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為
=
，
得
，又2a+2c=
，
所以可解得
，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，
所以橢圓的標準方程為
；
所以橢圓的焦點座標為（±2，0），
因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，
所以該雙曲線的標準方程為
． .......2分
（Ⅱ）設點P（x0，y0），
則k1=
，k2=
，
∴k1•k2=
=
，
又點P（x0，y0）在雙曲線上，
∴
，即y02=x02﹣4，
∴k1•k2=
=1． .........6分
（Ⅲ）假設存在常數λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恆成立，
則由（II）知k1•k2=1，
∴設直線AB的方程為y=k（x+2），則直線CD的方程為y=
（x﹣2），
由方程組
消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則由韋達定理得，
，
∴AB=
=
，
同理可得CD=
=
=
，
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=
=
﹣=
=
，
∴存在常數λ=
，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恆成立． ......12分
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
