已知橢圓的離心率是，其左、右頂點分別為、，為短軸的一個端點，的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）直線與軸交於，...
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問題詳情：
已知橢圓
的離心率是
，其左、右頂點分別為
、
，
為短軸的一個端點，
的面積為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）直線
與
軸交於
，
是橢圓
上異於
、
的動點，直線
、
分別交直線於
、
兩點，求*：
為定值．
【回答】
考點：
直線與圓錐曲線的綜合問題．.
專題：
圓錐曲線中的最值與範圍問題．
分析：
（1）根據橢圓離心率是
，其左、右頂點分別為A1，A2，B為短軸的端點，△A1BA2的面積為2
，建立方程組，可求橢圓方程．
（2）A1（﹣2，0），A2（2，0）．設P（x0，y0），直線A1P的方程為y=
（x+2），令x=2
，得|DE|=
，同理|DF|=
，由此能求出|DE|•|DF|為定值1．
解答：
（1）解：由已知，可得
，
解得a=2，b=
．
故所求橢圓方程為
．
（2）由題意可得：A1（﹣2，0），A2（2，0）．設P（x0，y0），
由題意可得：﹣2＜x0＜2，
∴直線A1P的方程為y=
（x+2），令x=2
，
則y=
，即|DE|=
，
同理：直線BP的方程為y=
（x﹣2），令x=2
，
則y=
，即|DF|=
，
所以|DE|•|DF|=
×
=
=
，
y02=4﹣x02，代入上式，得|DE|•|DF|=1，
故|DE|•|DF|為定值1．
點評：
本題考查橢圓方程的求法，考查|DE|•|DE|恆為定值的*，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．
知識點：圓錐曲線與方程
題型：解答題
