已知橢圓C的中心在座標原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=x2的焦點,離心率為.(1)求橢圓C的標...

問題詳情：

已知橢圓C的中心在座標原點,焦點在x軸上,它的一個頂點恰好是拋物線y=x2的焦點,離心率為.

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C於A,B兩點,交y軸於點M,若=m,=n,求m+n的值.

【回答】

 (1)設橢圓C的方程為+=1(a>b>0).

拋物線方程可化為x2=4y,其焦點為(0,1),

則橢圓C的一個頂點為(0,1),即b=1.

由e===.

得a2=5,所以橢圓C的標準方程為+y2=1.

(2)易求出橢圓C的右焦點F(2,0),

設A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),顯然直線l的斜率存在,設直線l的方程為

y=k(x-2),代入方程+y2=1,

得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.

所以x1+x2=,x1x2=.

又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),

=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).

因為=m,=n,

所以m=,n=,

所以m+n=,

又2x1x2-2(x1+x2)=

=-,

4-2(x1+x2)+x1x2

=4-+=,

所以m+n=10.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題