設橢圓的焦點在軸上，離心率為，拋物線的焦點在軸上，的中心和的頂點均為原點，點在上，點在上，（1）求曲線，的標準...

問題詳情：

設橢圓的焦點在軸上，離心率為，拋物線的焦點在軸上， 的中心和的頂點均為原點，點在上，點在上，

（1）求曲線， 的標準方程；

（2）請問是否存在過拋物線的焦點的直線與橢圓交於不同兩點，使得以線段為直徑的圓過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，説明理由.

【回答】

解：

（1）設的方程為，則.所以橢圓的方程為.點在上，設的方程為，則由，得.所以拋物線的方程為.

（2）因為直線過拋物線的焦點.當直線的斜率不存在時，點，或點，顯然以線段為直徑的圓不過原點，故不符合要求；

當直線的斜率存在時，設為，則直線的方程為，

代入的方程，並整理得.

設點，則，

.

因為以線段為直徑的圓過原點，所以，所以，所以，所以.化簡得，無解.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題