如圖，A（-5，0），B（-3，0），點C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．點...

來源：國語幫 1.87W

問題詳情：

如圖，A（-5，0），B（-3，0），點C在y軸的正半軸上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．點P從點Q（4，0）出發，沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度運動，運動時時間t秒．

（1）求點C的座標；

（2）當∠BCP=15°時，求t的值；

（3）以點P為圓心，PC為半徑的⊙P隨點P的運動而變化，當⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值．

【回答】

（1）C (0,3)；（2）t的值為4+或4+3；（3）t的值為1或4或5.6.

【解析】

試題分析：（1）由∠CBO=45°，∠BOC為直角，得到△BOC為等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的*質知OC=OB=3，然後由點C在y軸的正半軸可以確定點C的座標；（2）需要對點P的位置進行分類討論：①當點P在點B右側時，如圖2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO為30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用鋭角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出OP的長，由PQ=OQ+OP求出運動的總路程，由速度為1個單位/秒，即可求出此時的時間t；②當點P在點B左側時，如圖3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO為60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用鋭角三角函數定義及特殊角的三角函數值求出OP的長，由PQ=OQ+OP求出運動的總路程，由速度為1個單位/秒，即可求出此時的時間t；（3）當⊙P與四邊形ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時，分三種情況考慮： ①當⊙P與BC邊相切時，利用切線的*質得到BC垂直於CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此時△COP為等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P運動的路程，即可得出此時的時間t； ②當⊙P與CD相切於點C時，P與O重合，可得出P運動的路程為OQ的長，求出此時的時間t； ③當⊙P與AD相切時，利用切線的*質得到∠DAO=90°，得到此時A為切點，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出關於t的方程，求出方程的解得到此時的時間t．綜上，得到所有滿足題意的時間t的值．

試題解析：：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°， ∴OC=OB=3，又∵點C在y軸的正半軸上， ∴點C的座標為（0，3）；（2）分兩種情況考慮： ①當點P在點B右側時，如圖2，

若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故PO=CO•tan30°=，此時t=4+； ②當點P在點B左側時，如圖3，

由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，故OP=COtan60°=3，此時，t=4+3， ∴t的值為4+或4+3；（3）由題意知，若⊙P與四邊形ABCD的邊相切時，有以下三種情況： ①當⊙P與BC相切於點C時，有∠BCP=90°，從而∠OCP=45°，得到OP=3，此時t=1； ②當⊙P與CD相切於點C時，有PC⊥CD，即點P與點O重合，此時t=4； ③當⊙P與AD相切時，由題意，得∠DAO=90°， ∴點A為切點，如圖4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，於是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，解得：t=5.6， ∴t的值為1或4或5.6．