如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E為CD上一點，且∠B...

問題詳情：

如圖四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E為CD上一點，且∠BAE=45°．若CD=4，則△ABE的面積為（　　）

A．  B．  C．  D．

【回答】

D【解答】解法一：作AF⊥CB交CB的延長線於F，在CF的延長線上取一點G，是的FG=DE．

∵AD∥BC，

∴∠BCD+∠ADC=180°，

∴∠ADC=∠BCD=∠AFC=90°，

∴四邊形ADCF是矩形，

∵∠CAD=45°，

∴AD=CD，

∴四邊形ADCF是正方形，

∴AF=AD，∠AFG=∠ADF=90°，

∴△AFG≌△ADE，

∴AG=AE，∠FAG=∠DAE，

∴∠FAG+∠FAB=∠EAD+∠FAB=45°=∠BAE，

∴△BAE≌△BAG，

∴BE=BG=BF+GF=BF+DE，

設BC=a，則AB=4+a，BF=4﹣a，

在Rt△ABF中，42+（4﹣a）2=（4+a）2，解得a=1，

∴BC=1，BF=3，設BE=b，則DE=b﹣3，CE=4﹣（b﹣3）=7﹣b．

在Rt△BCE中，12+（7﹣b）2=b2，解得b=，

∴BG=BE=，

∴S△ABE=S△ABG=××4=．

解法二：如圖取CD的中點F，連接BF延長BF交AD的延長線於G，作FH⊥AB於H，EK⊥AB於K．作BT⊥AD於T．

∵BC∥AG，[來源:Z§xx§]

∴∠BCF=∠FDG，

∵∠BFC=∠DFG，FC=DF，

∴△BCF≌△GDF，

∴BC=DG，BF=FG，

∵AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，

∴AB=AG，∵BF=FG，

∴BF⊥AF，∠ABF=∠G=∠CBF，

∵FH⊥BA，FC⊥BC，

∴FH=FC，易*△FBC≌△FBH，△FAH≌△FAD，

∴BC=BH，AD=AH，

由題意AD=DC=4，設BC=TD=BH=x，

在Rt△ABT中，∵AB2=BT2+AT2，

∴（x+4）2=42+（4﹣x）2，

∴x=1，

∴BC=BH=TD=1，AB=5，

設AK=EK=y，DE=z，

∵AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，

∴42+z2=2y2①，

（5﹣y）2+y2=12+（4﹣z）2②

由②得到25﹣10y+2y2=17﹣8z+z2③，

①代入③可得z=④

④代入①可得y=（負根已經捨棄），

∴S△ABE=×5×=，

故選D．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：選擇題