如圖,拋物線y=ax2+bx+2交x軸於點A(-3,0)和點B(1,0),交y軸於點C(1)求這個拋物線的函數...
問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2+bx+2交x軸於點A(-3,0)和點B(1,0),交y軸於點C
(1)求這個拋物線的函數表達式.
(2)點D的座標為(-1,0),點P為第二象限內拋物線上的一個動點,求四邊形ADCP面積的最大值.
(3)點M為拋物線對稱軸上的點,問:在拋物線上是否存在點N,使△MNO為等腰直角三角形,且∠MNO為直角?若存在,請直接寫出點N的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)y=-x2-x+2;(2)S的最大值為;(3)存在,點N的座標為:(,)或(,)或(,)或(,).
【分析】
(1)拋物線的表達式為:y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a,即-3a=2,即可求解;
(2)S四邊形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC,即可求解;
(3)分點N在x軸上方、點N在x軸下方兩種情況,分別求解.
【詳解】
解:(1)拋物線的表達式為:y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a,
即-3a=2,解得:a=-,
故拋物線的表達式為:y=-x2-x+2,
則點C(0,2),函數的對稱軸為:x=1;
(2)連接OP,設點P(x,-x2-x+2),
則S=S四邊形ADCP=S△APO+S△CPO-S△ODC=×AO×yP+×OC×|xP|-×CO×OD
=(-x2-x+2)×2×(-x)-=-x2-3x+2,
∵-1<0,故S有最大值,當x=-時,S的最大值為;
(3)存在,理由:
△MNO為等腰直角三角形,且∠MNO為直角時,點N的位置如下圖所示:
①當點N在x軸上方時,點N的位置為N1、N2,
N1的情況(△M1N1O):
設點N1的座標為(x,-x2-x+2),則M1E=x+1,
過點N1作x軸的垂線交x軸於點F,過點M1作x軸的平行線交N1F於點E,
∵∠FN1O+∠M1N1E=90°,∠M1N1E+∠EM1N1=90°,∴∠EM1N1=∠FN1O,
∠M1N1E=∠N1OF=90°,ON1=M1N1,
∴△M1N1E≌△N1OF(AAS),∴M1E=N1F,
即:x+1=-x2-x+2,解得:x=(捨去負值),
則點N1(,);
N2的情況(△M2N2O):
同理可得:點N2(,);
②當點N在x軸下方時,點N的位置為N3、N4,
同理可得:點N3、N4的座標分別為:(,)、(,);
綜上,點N的座標為:(,)或(,)或(,)或(,).
【點睛】
本題考查的是二次函數綜合運用,涉及三角形全等、等腰直角三角形的*質、圖形的面積計算等,其中(3),要注意分類求解,避免遺漏.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題