如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交於A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側，若∠AMB=4...

問題詳情：

如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交於A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是（　　）

A．2       B．4     C．4       D．8

【回答】

C【考點】垂徑定理；勾股定理．

【分析】過點O作OC⊥AB於C，交⊙O於D、E兩點，連結OA、OB、DA、DB、EA、EB，根據圓周角定理推出△OAB為等腰直角三角形，求得AB=OA=2，根據已知條件即可得到結論．

【解答】解：過點O作OC⊥AB於C，交⊙O於D、E兩點，連結OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖，

∵∠AMB=45°，

∴∠AOB=2∠AMB=90°，

∴△OAB為等腰直角三角形，

∴AB=OA=2，

∵S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，

∴當M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當N點到AB的距離最大時，△NAB的面積最大，

即M點運動到D點，N點運動到E點，

此時四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB=AB•CD+AB•CE=AB（CD+CE）=AB•DE=×2×4=4．

故選C．

【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧．也考查了圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．

知識點：圓的有關*質

題型：選擇題