如圖所示，矩形ABCD的對角線相交於點O，OF⊥AD於點F，OF＝2cm，AE⊥BD於點E，且BE﹕BD＝1﹕...

問題詳情：

如圖所示，矩形ABCD的對角線相交於點O，OF⊥AD於點F，OF＝2cm，

AE⊥BD於點E，且BE﹕BD＝1﹕4，求AC的長．

【回答】

解法一：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD，AC＝BD，又∵OF⊥AD，∴OF∥AB，又∵OB＝OD ，∴ AB＝2OF＝4cm，

∵BE︰BD＝1︰4，∴BE︰ED＝1︰3                ……………………3分

設BE＝x，ED＝3 x ，則BD＝4 x ，∵AE⊥BD於點E

∴，∴16－x2＝AD2－9x2………………6分

又∵AD2＝BD2－AB2＝16 x2－16 ，∴16－x2＝16 x2－16－9x2，8 x2＝32

∴x2＝4，∴x＝2                                  ……………………9分

∴BD＝2×4 ＝8（cm），∴AC＝8 cm ．            ……………………10分

解法二：在矩形ABCD中，BO＝OD＝BD，∵BE︰BD＝1︰4，∴BE︰BO＝1︰2，

即E是BO的中點                                     ……………………3分

又AE⊥BO，∴AB＝AO，

由矩形的對角線互相平分且相等，∴AO＝BO              ……………………5分

∴△ABO是正三角形，

∴∠BAO＝60°，∴∠OAD＝90°－60°＝30°            ……………………8分

在Rt△AOF中，AO＝2OF＝4，∴AC＝2AO＝8            ……………………10分

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題