如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交於點O，AE平分∠BAC，交BC於點E．作DF⊥AE於點H，分別交...
問題詳情：
如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交於點O，AE平分∠BAC，交BC於點E．作DF⊥AE於點H，分別交AB，AC於點F，G．
（1）判斷△AFG的形狀並説明理由．
（2）求*：BF＝2OG．
【遷移應用】
（3）記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當
＝
時，求
的值．
【拓展延伸】
（4）若DF交*線AB於點F，【*質探究】中的其餘條件不變，連結EF，當△BEF的面積為矩形ABCD面積的
時，請直接寫出tan∠BAE的值．
【回答】
（1）解：如圖1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
（2）*：如圖2中，過點O作OL∥AB交DF於L，則∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴
＝
，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．
（3）解：如圖3中，過點D作DK⊥AC於K，則∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴
＝
，
∵S1＝
•OG•DK，S2＝
•BF•AD，
又∵BF＝2OG，
＝
，
∴
＝
＝
，設CD＝2x，AC＝3x，則AD＝2
x，
∴
＝
＝
．
（4）解：設OG＝a，AG＝k．
①如圖4中，連接EF，當點F在線段AB上時，點G在OA上．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k+2a，AC＝2（k+a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k+a）]2﹣（k+2a）2＝3k2+4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴BE＝
，
由題意：10×
×2a×
＝AD•（k+2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2+4ka，
∴k＝2a，
∴AD＝2
a，
∴BE＝
＝
a，AB＝4a，
∴tan∠BAE＝
＝
．
②如圖5中，當點F在AB的延長線上時，點G在線段OC上，連接EF．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k﹣2a，AC＝2（k﹣a），
∴AD2＝AC2﹣CD2＝[2（k﹣a）]2﹣（k﹣2a）2＝3k2﹣4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴
＝
，
∴
＝
，
∴BE＝
，
由題意：10×
×2a×
＝AD•（k﹣2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2﹣4ka，
∴k＝
a，
∴AD＝
a，
∴BE＝
＝
a，AB＝
a，
∴tan∠BAE＝
＝
，
綜上所述，tan∠BAE的值為
或
．
【分析】（1）如圖1中，△AFG是等腰三角形．利用全等三角形的*質*即可．
（2）如圖2中，過點O作OL∥AB交DF於L，則∠AFG＝∠OLG．首先*OG＝OL，再*BF＝2OL即可解決問題．
（3）如圖3中，過點D作DK⊥AC於K，則∠DKA＝∠CDA＝90°，利用相似三角形的*質解決問題即可．
（4）設OG＝a，AG＝k．分兩種情形：①如圖4中，連接EF，當點F在線段AB上時，點G在OA上．②如圖5中，當點F在AB的延長線上時，點G在線段OC上，連接EF．分別求解即可解決問題．
知識點：各地中考
題型：綜合題
